本篇文章给大家谈谈arma模型c语言代码，以及ARMA模型对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站喔。
本文目录一览：
1、如何用Matlab求ARMA模型的残差？（急，谢谢）2、ARIMA参数模型表怎么写表达式？每个值的含义是什么?3、均值模型4、r语言arma-garch怎样预测
如何用Matlab求ARMA模型的残差？（急，谢谢）
用Matlab求ARMA模型的残差
数组Y X，方程y=f(x)
则残差c=Y-y
[b, bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha）
rcoplot(r,rint)做残差图
从残差图可以看出数据的残差离零点的远近，当残差的置信区间均包含零点，这说明回归模型 能较好的符合原始数据，否则可视为异常点。
MATLAB[1] 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB是matrixlaboratory两个词的组合，意为矩阵工厂（矩阵实验室）。是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
ARIMA参数模型表怎么写表达式？每个值的含义是什么?
y_t=0.3658*y_(t-1)+e_t-e_(t-1) 。每个值的含义是参数的配对。
利用ARIMA模型进行卷烟销售预测时值年末，各卷烟企业在布置来年卷烟销售任务时，对卷烟销售进行预测是十分有必要的。利用ARIMA模型进行卷烟销售预测是一个十分有用的方法。ARIMA方法是时间序列预测中的一种有效的方法。
平稳性差别：
ARMA模型的平稳性要求y的均值、方差和自协方差都是与时间无关的、有限的常数。 可以证明，ARMA(p, q)模型的平稳性条件是方程()0Lφ=的解的模都大于1，可逆性条件是方程()0Lθ=的解的模都大于1。
ARMA模型只能处理平稳序列，因此对于平稳序列，可以直接建立AR、MA或者ARMA模型。但是，常见的时间序列一般都是非平稳的。必须通过差分后转化为平稳序列，才可以使用ARMA模型。
ARIMA模型 (autoregressive integrated moving average) 定义：如果非平稳时间序列yt经过k次差分后的平稳序列zt＝△kyt服从ARMA(p, q)模型。
均值模型
原文链接：
本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。
均值模型
本节探讨条件均值模型。
iid模型
我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：
均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值
和样本协方差矩阵
我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。
让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：
# 生成综合收益数据X – rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）mu_sm – colMeans(X)Sigma_scm – cov(X)# 误差norm(mu_sm – mu, “2”)# [1] 2.44norm(Sigma_scm – Sigma, “F”)# [1] 70.79
现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：
# 首先生成所有数据X – rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 现在遍历样本的子集for (T_ in T_sweep) { # 样本估算 mu_sm – colMeans(X_) Sigma_scm – cov(X_) # 计算误差 error_mu_vs_T – c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm – mu, “2”)) error_Sigma_vs_T – c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm – Sigma, “F”))# 绘图plot(T_sweep, error_mu_vs_T, main = “mu估计误差”,
plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T main = “Sigma估计中的误差”, ylab = “误差”
单变量ARMA模型
对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是
其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。
请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。
rugarch生成数据
我们将使用rugarch包 生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。
首先，我们需要定义模型：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型# # *———————————-*# * ARFIMA Model Spec *# *———————————-*# Conditional Mean Dynamics# ————————————# Mean Model : ARFIMA(1,0,0)# Include Mean : TRUE # # Conditional Distribution# ————————————# Distribution : norm # Includes Skew : FALSE # Includes Shape : FALSE # Includes Lambda : FALSE# Level Fixed Include Estimate LB UB# mu 0.01 1 1 0 NA NA# ar1 -0.90 1 1 0 NA NA# ma 0.00 0 0 0 NA NA# arfima 0.00 0 0 0 NA NA# archm 0.00 0 0 0 NA NA# mxreg 0.00 0 0 0 NA NA# sigma 0.20 1 1 0 NA NA# alpha 0.00 0 0 0 NA NA# beta 0.00 0 0 0 NA NA# gamma 0.00 0 0 0 NA NA# eta1 0.00 0 0 0 NA NA# eta2 0.00 0 0 0 NA NA# delta 0.00 0 0 0 NA NA# lambda 0.00 0 0 0 NA NA# vxreg 0.00 0 0 0 NA NA# skew 0.00 0 0 0 NA NA# shape 0.00 0 0 0 NA NA# ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA# xi 0.00 0 0 0 NA NAfixed.pars# $mu# [1] 0.01# # $ar1# [1] -0.9# # $sigma# [1] 0.2true_params# mu ar1 sigma # 0.01 -0.90 0.20
然后，我们可以生成时间序列：
# 模拟一条路径apath(spec, n.sim = T)# 转换为xts并绘图plot(synth_log_returns, main = “ARMA模型的对数收益率”plot(synth_log_prices, main = “ARMA模型的对数价格”
ARMA模型
现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：
# 指定AR（1）模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估计模型# mu ar1 sigma # 0.0083 -0.8887 0.1987# mu ar1 sigma # 0.01 -0.90 0.20
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：
# 循环for (T_ in T_sweep) { estim_coeffs_vs_T – rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit)) error_coeffs_vs_T – rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) – true_params)/true_params)# 绘图matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T, main = “估计的ARMA系数”, xlab = “T”, ylab = “值”,
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, main = “估计ARMA系数的相对误差”, xlab = “T”, ylab = “误差 (%)”,
首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。
ARMA预测
为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE), fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成长度为1000的序列arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和拟合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”拟合模型# ARIMA(1,0,0) with non-zero mean # # Coefficients:# ar1 mean# -0.8982 0.0036# s.e. 0.0139 0.0017# # sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6# AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47# 比较模型系数# ar1 intercept sigma # -0.898181148 0.003574781 0.100222964# mu ar1 sigma # 0.003605805 -0.898750138 0.100199956
确实，这两个软件包给出了相同的结果。
ARMA模型选择
在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。
# 尝试不同的组合# 查看排名# AR MA Mean ARFIMA BIC converged# 1 1 0 1 0 -0.38249098 1# 2 1 1 1 0 -0.37883157 1# 3 2 0 1 0 -0.37736340 1# 4 1 2 1 0 -0.37503980 1# 5 2 1 1 0 -0.37459177 1# 6 3 0 1 0 -0.37164609 1# 7 1 3 1 0 -0.37143480 1# 8 2 2 1 0 -0.37107841 1# 9 3 1 1 0 -0.36795491 1# 10 2 3 1 0 -0.36732669 1# 11 3 2 1 0 -0.36379209 1# 12 3 3 1 0 -0.36058264 1# 13 0 3 1 0 -0.11875575 1# 14 0 2 1 0 0.02957266 1# 15 0 1 1 0 0.39326050 1# 16 0 0 1 0 1.17294875 1#选最好的armaOrder# AR MA # 1 0
在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。
ARMA预测
一旦估计了ARMA模型参数ϕi ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是
并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：
# 估计模型（不包括样本外）coef(arma_fit)# mu ar1 sigma # 0.007212069 -0.898745183 0.200400119# 整个样本外的预测对数收益forecast_log_returns – xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)# 恢复对数价格prev_log_price – head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)# 对数收益图plot(cbind(“fitted” = fitted(arma_fit),# 对数价格图plot(cbind(“forecast” = forecast_log_prices, main = “对数价格预测”, legend.loc = “topleft”)
多元VARMA模型
对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是
其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。
比较
让我们首先加载S＆P500：
# 加载标普500数据head(SP500_index_prices)# SP500# 2012-01-03 1277.06# 2012-01-04 1277.30# 2012-01-05 1281.06# 2012-01-06 1277.81# 2012-01-09 1280.70# 2012-01-10 1292.08# 准备训练和测试数据logreturns_trn – logreturns[1:T_trn]logreturns_tst – logreturns[-c(1:T_trn)]# 绘图{ plot(logreturns, addEventLines(xts(“训练”
现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。
# 拟合i.i.d.模型coef(iid_fit)# mu sigma # 0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns_trn)# [1] 0.0005681388sd(logreturns_trn)# [1] 0.007360208# 拟合AR（1）模型coef(ar_fit)# mu ar1 sigma # 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716# 拟合ARMA（2,2）模型coef(arma_fit)# mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma # 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570# 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型coef(arch_fit)# mu ar1 ma1 omega alpha1 # 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02#拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型coef(long_arch_fit)# mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5 # 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 # alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10 # 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型coef(garch_fit)# mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1 # 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01
r语言arma-garch怎样预测
原文链接：
本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。
均值模型
本节探讨条件均值模型。
iid模型
我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：
均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值
和样本协方差矩阵
我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。
让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：
# 生成综合收益数据X – rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）mu_sm – colMeans(X)Sigma_scm – cov(X)# 误差norm(mu_sm – mu, “2”)# [1] 2.44norm(Sigma_scm – Sigma, “F”)# [1] 70.79
现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：
# 首先生成所有数据X – rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 现在遍历样本的子集for (T_ in T_sweep) { # 样本估算 mu_sm – colMeans(X_) Sigma_scm – cov(X_) # 计算误差 error_mu_vs_T – c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm – mu, “2”)) error_Sigma_vs_T – c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm – Sigma, “F”))# 绘图plot(T_sweep, error_mu_vs_T, main = “mu估计误差”,
plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T main = “Sigma估计中的误差”, ylab = “误差”
单变量ARMA模型
对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是
其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。
请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。
rugarch生成数据
我们将使用rugarch包 生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。
首先，我们需要定义模型：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型# # *———————————-*# * ARFIMA Model Spec *# *———————————-*# Conditional Mean Dynamics# ————————————# Mean Model : ARFIMA(1,0,0)# Include Mean : TRUE # # Conditional Distribution# ————————————# Distribution : norm # Includes Skew : FALSE # Includes Shape : FALSE # Includes Lambda : FALSE# Level Fixed Include Estimate LB UB# mu 0.01 1 1 0 NA NA# ar1 -0.90 1 1 0 NA NA# ma 0.00 0 0 0 NA NA# arfima 0.00 0 0 0 NA NA# archm 0.00 0 0 0 NA NA# mxreg 0.00 0 0 0 NA NA# sigma 0.20 1 1 0 NA NA# alpha 0.00 0 0 0 NA NA# beta 0.00 0 0 0 NA NA# gamma 0.00 0 0 0 NA NA# eta1 0.00 0 0 0 NA NA# eta2 0.00 0 0 0 NA NA# delta 0.00 0 0 0 NA NA# lambda 0.00 0 0 0 NA NA# vxreg 0.00 0 0 0 NA NA# skew 0.00 0 0 0 NA NA# shape 0.00 0 0 0 NA NA# ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA# xi 0.00 0 0 0 NA NAfixed.pars# $mu# [1] 0.01# # $ar1# [1] -0.9# # $sigma# [1] 0.2true_params# mu ar1 sigma # 0.01 -0.90 0.20
然后，我们可以生成时间序列：
# 模拟一条路径apath(spec, n.sim = T)# 转换为xts并绘图plot(synth_log_returns, main = “ARMA模型的对数收益率”plot(synth_log_prices, main = “ARMA模型的对数价格”
ARMA模型
现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：
# 指定AR（1）模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估计模型# mu ar1 sigma # 0.0083 -0.8887 0.1987# mu ar1 sigma # 0.01 -0.90 0.20
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：
# 循环for (T_ in T_sweep) { estim_coeffs_vs_T – rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit)) error_coeffs_vs_T – rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) – true_params)/true_params)# 绘图matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T, main = “估计的ARMA系数”, xlab = “T”, ylab = “值”,
matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, main = “估计ARMA系数的相对误差”, xlab = “T”, ylab = “误差 (%)”,
首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。
ARMA预测
为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：
# 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE), fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成长度为1000的序列arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和拟合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”拟合模型# ARIMA(1,0,0) with non-zero mean # # Coefficients:# ar1 mean# -0.8982 0.0036# s.e. 0.0139 0.0017# # sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6# AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47# 比较模型系数# ar1 intercept sigma # -0.898181148 0.003574781 0.100222964# mu ar1 sigma # 0.003605805 -0.898750138 0.100199956
确实，这两个软件包给出了相同的结果。
ARMA模型选择
在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。
# 尝试不同的组合# 查看排名# AR MA Mean ARFIMA BIC converged# 1 1 0 1 0 -0.38249098 1# 2 1 1 1 0 -0.37883157 1# 3 2 0 1 0 -0.37736340 1# 4 1 2 1 0 -0.37503980 1# 5 2 1 1 0 -0.37459177 1# 6 3 0 1 0 -0.37164609 1# 7 1 3 1 0 -0.37143480 1# 8 2 2 1 0 -0.37107841 1# 9 3 1 1 0 -0.36795491 1# 10 2 3 1 0 -0.36732669 1# 11 3 2 1 0 -0.36379209 1# 12 3 3 1 0 -0.36058264 1# 13 0 3 1 0 -0.11875575 1# 14 0 2 1 0 0.02957266 1# 15 0 1 1 0 0.39326050 1# 16 0 0 1 0 1.17294875 1#选最好的armaOrder# AR MA # 1 0
在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。
ARMA预测
一旦估计了ARMA模型参数ϕi ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是
并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：
# 估计模型（不包括样本外）coef(arma_fit)# mu ar1 sigma # 0.007212069 -0.898745183 0.200400119# 整个样本外的预测对数收益forecast_log_returns – xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)# 恢复对数价格prev_log_price – head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)# 对数收益图plot(cbind(“fitted” = fitted(arma_fit),# 对数价格图plot(cbind(“forecast” = forecast_log_prices, main = “对数价格预测”, legend.loc = “topleft”)
多元VARMA模型
对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是
其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。
比较
让我们首先加载S＆P500：
# 加载标普500数据head(SP500_index_prices)# SP500# 2012-01-03 1277.06# 2012-01-04 1277.30# 2012-01-05 1281.06# 2012-01-06 1277.81# 2012-01-09 1280.70# 2012-01-10 1292.08# 准备训练和测试数据logreturns_trn – logreturns[1:T_trn]logreturns_tst – logreturns[-c(1:T_trn)]# 绘图{ plot(logreturns, addEventLines(xts(“训练”
现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。
# 拟合i.i.d.模型coef(iid_fit)# mu sigma # 0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns_trn)# [1] 0.0005681388sd(logreturns_trn)# [1] 0.007360208# 拟合AR（1）模型coef(ar_fit)# mu ar1 sigma # 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716# 拟合ARMA（2,2）模型coef(arma_fit)# mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma # 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570# 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型coef(arch_fit)# mu ar1 ma1 omega alpha1 # 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02#拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型coef(long_arch_fit)# mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5 # 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 # alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10 # 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型coef(garch_fit)# mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1 # 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01
我们使用不同的模型来预测对数收益率：
# 准备预测样本外周期的对数收益# i.i.d.模型预测forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst – 1) dates_out_of_sample)# AR（1）模型进行预测forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst – 1) dates_out_of_sample)# ARMA（2,2）模型进行预测forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst – 1) dates_out_of_sample)# 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型进行预测forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst – 1) dates_out_of_sample)# ARMA（0,0）+ARCH（10）模型预测forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst – 1) dates_out_of_sample)# ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型预测forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst – 1) dates_out_of_sample)
我们可以计算不同模型的预测误差（样本内和样本外）：
print(error_var)# in-sample out-of-sample# iid 5.417266e-05 8.975710e-05# AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05# ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04# ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05# ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05# ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05
我们可以观察到，随着模型复杂度的增加，样本内误差趋于变小（由于拟合数据的自由度更高），尽管差异可以忽略不计。重要的实际上是样本外误差：我们可以看到，增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言，似乎最简单的iid模型已经足够了。
最后，让我们展示一些样本外误差的图表：
plot(error, main = “不同模型收益预测的样本外误差”,
请注意，由于我们没有重新拟合模型，因此随着时间的发展，误差越大（对于ARCH建模尤其明显）。
滚动窗口比较
让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念：
#ARMA（2,2）模型spec – spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))# 静态拟合和预测ar_static_fit – fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)#滚动拟合和预测modelroll – aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1, # 预测图plot(cbind(“static forecast” = ar_static_fore_logreturns, main = “使用ARMA（2,2）模型进行预测”, legend.loc = “topleft”)# 预测误差图plot(error_logreturns, col = c(“black”, “red”), lwd = 2, main = “ARMA（2,2）模型的预测误差”, legend.loc = “topleft”)
我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。
现在，我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测：
# 基于i.i.d.模型的滚动预测roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t# AR（1）模型的滚动预测roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, # ARMA（2,2）模型的滚动预测roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, # ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滚动预测roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, refit.win# ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滚动预测roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, # ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滚动预测roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst, refit.every = 50, refit.window
让我们看看滚动基准情况下的预测误差：
print(rolling_error_var)# in-sample out-of-sample# iid 5.417266e-05 8.974166e-05# AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05# ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05# ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05# ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05# ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05
和一些图表：
plot(error_logreturns, main = “不同模型的滚动预测误差”, legend.loc = “topleft”
我们看到，现在所有模型都拟合了时间序列。此外，我们在模型之间没有发现任何显着差异。
我们最终可以比较静态误差和滚动误差：
barplot(rbind(error_var[, “out-of-sample”], rolling_error_var[, “out-of-sample”]) col = c(“darkblue”, “darkgoldenrod”), legend = c(“静态预测”, “滚动预测”),
我们可以看到，滚动预测在某些情况下是必须的。因此，实际上，我们需要定期进行滚动预测改进。
方差模型
ARCH和GARCH模型
对数收益率残差wt的ARCH（m）模型为
其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列，而条件方差σ2t建模为
其中，m为模型阶数，ω 0，αi≥0为参数。
GARCH（m，s）模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型：
其中参数ω 0，αi≥0，βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。
rugarch生成数据
首先，我们需要定义模型：
# 指定具有给定系数和参数的GARCH模型# # *———————————*# * GARCH Model Spec *# *———————————*# # Conditional Variance Dynamics # ————————————# GARCH Model : sGARCH(1,1)# Variance Targeting : FALSE # # Conditional Mean Dynamics# ————————————# Mean Model : ARFIMA(1,0,0)# Include Mean : TRUE # GARCH-in-Mean : FALSE # # Conditional Distribution# ————————————# Distribution : norm # Includes Skew : FALSE # Includes Shape : FALSE # Includes Lambda : FALSE# Level Fixed Include Estimate LB UB# mu 0.005 1 1 0 NA NA# ar1 -0.900 1 1 0 NA NA# ma 0.000 0 0 0 NA NA# arfima 0.000 0 0 0 NA NA# archm 0.000 0 0 0 NA NA# mxreg 0.000 0 0 0 NA NA# omega 0.001 1 1 0 NA NA# alpha1 0.300 1 1 0 NA NA# beta1 0.650 1 1 0 NA NA# gamma 0.000 0 0 0 NA NA# eta1 0.000 0 0 0 NA NA# eta2 0.000 0 0 0 NA NA# delta 0.000 0 0 0 NA NA# lambda 0.000 0 0 0 NA NA# vxreg 0.000 0 0 0 NA NA# skew 0.000 0 0 0 NA NA# shape 0.000 0 0 0 NA NA# ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA# xi 0.000 0 0 0 NA NA# $mu# [1] 0.005# # $ar1# [1] -0.9# # $omega# [1] 0.001# # $alpha1# [1] 0.3# # $beta1# [1] 0.65true_params# mu ar1 omega alpha1 beta1 # 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
然后，我们可以生成收益率时间序列：
# 模拟一条路径hpath(garch_spec, n.sim = T)# num [1:2000, 1] 0.167 -0.217 # 绘图对数收益{ plot(synth_log_returns, main = “GARCH模型的对数收益”, lwd = 1.5) lines(synth_volatility
GARCH
现在，我们可以估计参数：
# 指定一个GARCH模型ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)# 估计模型coef(garch_fit)# mu ar1 omega alpha1 beta1 # 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402# mu ar1 omega alpha1 beta1 # 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650# 系数误差# mu ar1 omega alpha1 beta1 # 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402
我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：
# 循环for (T_ in T_sweep) { garch_fit error_coeffs_vs_T – rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) – true_params)/true_params)) estim_coeffs_vs_T – rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))# 绘图matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T, main = “估计GARCH系数的相对误差”, xlab = “T”, ylab = “误差 (%)”,
真实的ω几乎为零，因此误差非常不稳定。至于其他系数，就像在ARMA情况下一样，μ的估计确实很差（相对误差超过50％），而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。
GARCH结果比较
作为健全性检查，我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果：
# 指定具有特定参数值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作为数据生成过程garch_spec #生成长度为1000的数据path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$# 使用“ rugarch”包指定和拟合模型rugarch_fit – ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)# 使用包“ fGarch”拟合模型garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)# 比较模型系数# mu omega alpha1 beta1 # 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595# mu omega alpha1 beta1 # 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658# 比较拟合的标准偏差print(head(fGarch_fi# [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994print(head(rugar# [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555
确实，这两个软件包给出了相同的结果。
使用rugarch包进行GARCH预测
一旦估计出GARCH模型的参数，就可以使用该模型预测未来的值。例如，基于过去的信息对条件方差的单步预测为
给定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：
# 估计模型，不包括样本外garch_fit coef(garch_fit)# mu ar1 omega alpha1 beta1 # 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241# 预测整个样本的对数收益garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]# 对数收益图plot(cbind(“fitted” = fitted(garch_fit), main = “合成对数收益预测”, legend.loc = “topleft”)
#波动率对数收益图plot(cbind(“fitted volatility” = sigma(garch_fit), main = “预测合成对数收益率的波动性”, legend.loc = “topleft”)
不同方法
让我们首先加载S＆P500：
# 加载标准普尔500指数数据head(SP500_index_prices)# SP500# 2008-01-02 1447.16# 2008-01-03 1447.16# 2008-01-04 1411.63# 2008-01-07 1416.18# 2008-01-08 1390.19# 2008-01-09 1409.13# 准备训练和测试数据x_trn – x[1:T_trn]x_tst – x[-c(1:T_trn)]# 绘图{ plot(x, main = “收益” addEventLines(xts(“训练”, in
常数
让我们从常数开始：
plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn) main = “常数”)
移动平均值
现在，让我们使用平方收益的移动平均值：
plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn), main = “基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)
EWMA
指数加权移动平均线（EWMA）：
请注意，这也可以建模为ETS（A，N，N）状态空间模型：
plot(cbind(std_t, x_trn), main = “基于平方EWMA的包络”)
乘法ETS
我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如，具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS（M，N，N）：
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